b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

может быть выражен как 09 09 при действии единичной силы

δ _B = F a ³ / (3 E I)                            (2d)

where

δ _B = maximum deflection in B (m, mm, in)

Maximum Stress

The maximum stress can be calculated by combining 1d and 2b to

σ _max = y _max F a / I             (2e)   

Консольная балка — Калькулятор одинарной нагрузки

Общий калькулятор — будьте последовательны и используйте метрические значения, основанные на м или миллиметрах, или британские значения, основанные на дюймах. Типичные значения по умолчанию указаны в метрических миллиметрах.

F — нагрузка (Н, фунты)

a — длина балки между A и B (м, мм, дюйм)

b — длина балки между B и C (м, мм, в)

I — Момент инерции (M ⁴ , MM ⁴ , в ⁴ )

E — Модуль эластичности (N/M ² , N/MM ^{29009 29009 29009 29009 29009 2 9 2 9 2 9 2 9 2 709 2 709 2} 709 2 709 2 709 2 70709 2 70709 2 70709 2 70709 2 70709 2 70709 2 70709 2 . , psi)

y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Консольная балка — Равномерно распределенная нагрузка

Максимальная реакция

на фиксированном конце может быть выражена как:

R _A = Q L (3A)

, где

R _A = Реакционная сила в A A (Gravic Aric in A (A -AIS Н, фунт)

q = равномерная распределенная нагрузка (Н/м, Н/мм, фунт/дюйм)

L = длина консольной балки (м, мм, дюйм)

Максимальный момент

на фиксированном конце можно выразить как

M _A = — Q L ² /2 (3B)

Максимальный отклонение

на конце может быть выражен как

Δ _B = Q L ⁴ / (8 E. ) (3C)

, где

Δ _B = максимальное отклонение в B (M, MM, In)

Cansilever Beam — Единый нагрузочный калькулятор

Общий расчет — использование метрического показа или мм, или имперские значения, основанные на дюймах. Типичные значения по умолчанию указаны в метрических миллиметрах.

q — Равномерная нагрузка (Н/м, Н/мм, фунт/дюйм)

L — Длина балки (м, мм, дюйм)

I — Момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

E — Модуль упругости (Па, Н/мм ² , фунт/кв. дюйм)

ym — Расстояние от оси

На консольную балку действует более одной точечной нагрузки и/или равномерной нагрузки

Если на консольную балку действует более одной точечной нагрузки и/или равномерной нагрузки — результирующий максимальный момент на закрепленном конце А и Результирующее максимальное отклонение на конце B можно рассчитать путем суммирования максимального момента в A и максимального отклонения в B для каждой точки и/или равномерной нагрузки.

Консольный луч — снижение распределенной нагрузки

Максимальная реакция

на фиксированной конце может быть выражена:

R _A = Q L / 2 (4A)

В этом разделе рассматриваются поперечная сила и изгибающий момент в балках, диаграммы сдвига и момента, напряжения в балках, а также таблица общих формул прогиба балки.

Содержимое

Ограничения и граничные условия

Чтобы балка оставалась в статическом равновесии, когда к ней приложены внешние нагрузки, балка должна быть закреплена. Ограничения определяются в отдельных точках вдоль балки, и граничное условие в этой точке определяет характер ограничения. Граничное условие указывает, является ли луч фиксированным (ограниченным от движения) или свободным для перемещения в каждом направлении. Для двумерного луча интересующими направлениями являются направление x (осевое направление), направление y (поперечное направление) и вращение. Чтобы ограничение существовало в точке, граничное условие должно указывать, что хотя бы одно направление зафиксировано в этой точке.

Общие граничные условия показаны в таблице ниже. Для каждого граничного условия в таблице указано, является ли луч фиксированным или свободным в каждом направлении в точке, где определено граничное условие.

Если граничное условие указывает, что луч зафиксирован в определенном направлении, то в месте расположения граничного условия может существовать внешняя реакция в этом направлении. Например, если балка закреплена в направлении y в определенной точке, то в этой точке может возникнуть поперечная (y) внешняя сила реакции. Точно так же, если балку зафиксировать от вращения в определенной точке, то в этой точке может возникнуть внешний реактивный момент.

Основываясь на приведенном выше обсуждении, мы можем видеть, что фиксированное граничное условие может развивать осевые и поперечные силы реакции, а также момент. Точно так же мы видим, что закрепленное граничное условие может развивать осевые и поперечные силы реакции, но не может создавать реактивный момент.

Обратите внимание на условие свободной границы в таблице выше. Это граничное условие указывает, что луч может свободно двигаться в любом направлении в этой точке (т. е. он не зафиксирован и не ограничен ни в каком направлении). Следовательно, на данный момент ограничения не существует. Это подчеркивает тонкую разницу между ограничением и граничным условием. Граничное условие указывает фиксированное/свободное условие в каждом направлении в определенной точке, а ограничение — это граничное условие, в котором зафиксировано хотя бы одно направление.

Сила сдвига и изгибающий момент

Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при каждом ограничении. Например, консольная балка ниже имеет приложенную силу, показанную красной стрелкой, а реакции показаны синими стрелками при фиксированном граничном условии.

Внешние реакции должны уравновешивать приложенные нагрузки таким образом, чтобы балка находилась в статическом равновесии. После того, как внешние реакции определены, сделайте разрезы по длине балки и определите внутренние реакции на каждом разрезе. (Силы реакции и моменты в разрезах сечения называются внутренними реакциями, поскольку они являются внутренними по отношению к балке.) Пример сечения показан на рисунке ниже:

Когда балка разрезается в сечении, при расчете внутренних реакций можно учитывать любую сторону балки. Выбранная сторона не влияет на результаты, поэтому выбирайте ту сторону, которая проще всего. На рисунке выше выбрана сторона балки справа от разреза сечения. Выбранная сторона отображается в виде синего участка луча, а участок, показанный серым цветом, игнорируется. Внутренние реакции на разрезе показаны синими стрелками. Реакции рассчитываются таким образом, чтобы рассматриваемое сечение балки находилось в статическом равновесии.

Соглашение о знаках

Важны знаки сдвига и момента. Знак определяется после разреза сечения и решения реакций для части балки по одну сторону от разреза. Перерезывающая сила в срезе сечения считается положительной, если она вызывает вращение выбранного сечения балки по часовой стрелке, и считается отрицательной, если вызывает вращение против часовой стрелки. Изгибающий момент в разрезе сечения считается положительным, если он сжимает верхнюю часть балки и удлиняет нижнюю часть балки (т. е. заставляет балку «улыбаться»).

На основе этого соглашения о знаках поперечная сила в разрезе сечения консольной балки в качестве примера на рисунке выше положительна, поскольку она вызывает вращение выбранного сечения по часовой стрелке. Момент отрицательный, так как он сжимает нижнюю часть балки и удлиняет верхнюю (т. е. заставляет балку «нахмуриться»).

На рисунке ниже показаны стандартные знаки для поперечной силы и изгибающего момента. Силы и моменты слева положительны, а справа отрицательны.

Ознакомьтесь с нашим калькулятором луча, основанным на методологии, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

Диаграммы сдвига и момента

Перерезывающая сила и изгибающий момент в балке обычно изображаются на диаграммах. Диаграмма сдвига показывает поперечную силу по длине балки, а диаграмма моментов показывает изгибающий момент по длине балки. Эти диаграммы обычно располагаются друг над другом, и комбинация этих двух диаграмм представляет собой диаграмму момента сдвига. Диаграммы поперечного момента для некоторых распространенных конечных условий и конфигураций нагрузки показаны в таблицах прогиба балки в конце этой страницы. Пример диаграммы поперечного момента показан на следующем рисунке:

Общие правила построения диаграмм поперечных моментов приведены в таблице ниже. Все правила этой таблицы показаны на рисунке выше.

Изгибающие напряжения в балках

Изгибающий момент М по длине балки можно определить по диаграмме моментов. Затем изгибающий момент в любом месте балки можно использовать для расчета изгибающего напряжения в поперечном сечении балки в этом месте. Изгибающий момент изменяется по высоте поперечного сечения в соответствии с формула изгиба ниже:

где M — изгибающий момент в интересующем месте по длине балки, I _c — центральный момент инерции поперечного сечения балки, а y — расстояние от нейтральной оси балки до интересующей точки по высоте. сечения. Отрицательный знак указывает на то, что положительный момент приведет к сжимающему напряжению над нейтральной осью.

Напряжение изгиба равно нулю на нейтральной оси балки, которая совпадает с центром тяжести поперечного сечения балки. Напряжение изгиба увеличивается линейно по направлению от нейтральной оси до максимальных значений на крайних волокнах вверху и внизу балки.

Максимальное изгибающее напряжение возникает на крайних волокнах балки и рассчитывается как:

где c — центроидальное расстояние поперечного сечения (расстояние от центроида до крайнего волокна).

Если балка асимметрична относительно нейтральной оси, так что расстояния от нейтральной оси до верха и до низа балки не равны, максимальное напряжение возникнет в самом удаленном месте от нейтральной оси. На рисунке ниже растягивающее напряжение в верхней части балки больше, чем сжимающее напряжение в нижней части.

Модуль поперечного сечения объединяет центральный момент инерции I _c и центральное расстояние с:

Преимущество модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление поперечного сечения изгибу в одном выражении. Модуль сечения можно подставить в формулу изгиба для расчета максимального напряжения изгиба в поперечном сечении:

Ознакомьтесь с нашим калькулятором луча, основанным на методологии, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

Касательные напряжения в балках

Сила сдвига V по длине балки может быть определена по диаграмме сдвига. Сила сдвига в любом месте балки затем может быть использована для расчета напряжения сдвига по поперечному сечению балки в этом месте. Среднее касательное напряжение по поперечному сечению определяется выражением:

Напряжение сдвига изменяется по высоте поперечного сечения, как показано на рисунке ниже:

Напряжение сдвига равно нулю на свободных поверхностях (вверху и внизу балки) и максимально в центре тяжести. Уравнение для напряжения сдвига в любой точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения, имеет вид:

где V — поперечная сила, действующая в месте поперечного сечения, I _c — центральный момент инерции поперечного сечения, а b — ширина поперечного сечения. Все эти термины являются константами. Член Q — это первый момент площади, ограниченной точкой интереса и крайним слоем поперечного сечения:

Напряжения сдвига для нескольких распространенных поперечных сечений обсуждаются в разделах ниже.

Касательные напряжения в прямоугольных сечениях

Распределение касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения показано на рисунке ниже:

Первый момент площади в любой заданной точке y ₁ по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:

Максимальное значение Q приходится на нейтральную ось пучка (где y ₁ = 0):

Напряжение сдвига в любой заданной точке y ₁ по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:

где I _c = b·h ³ /12 – центроидальный момент инерции поперечного сечения. Максимальное напряжение сдвига возникает на нейтральной оси балки и рассчитывается по формуле:

где A = b·h – площадь поперечного сечения.

Из предыдущего уравнения видно, что максимальное касательное напряжение в поперечном сечении на 50% выше, чем среднее напряжение V/A.

Касательные напряжения в круглых сечениях

Круглое сечение показано на рисунке ниже:

Уравнения для касательного напряжения в балке были выведены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки постоянно. Это предположение справедливо в центре тяжести круглого поперечного сечения, хотя нигде больше оно недействительно. Следовательно, хотя распределение напряжения сдвига по высоте поперечного сечения не может быть легко определено, максимальное напряжение сдвига в сечении (возникающее в центре тяжести) все же можно рассчитать. Максимальное значение первого момента Q, возникающее в центре тяжести, определяется выражением:

Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:

где b = 2r — диаметр (ширина) поперечного сечения, I _c = πr ⁴ /4 — центроидальный момент инерции, A = πr ² — площадь поперечного сечения.

Касательные напряжения в сечениях круглых труб

Поперечное сечение круглой трубы показано на рисунке ниже:

Максимальное значение первого момента Q, возникающее в центре тяжести, определяется выражением:

Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:

где b = 2 (r _o − r _i ) – эффективная ширина поперечного сечения, центроидальный момент инерции, а A = π (r _o ² − r _i ² ) площадь поперечного сечения.

Касательные напряжения в двутавровых балках

Распределение напряжения сдвига вдоль стенки двутавровой балки показано на рисунке ниже:

Уравнения для касательного напряжения в балке были выведены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки постоянно. Это предположение справедливо для стенки двутавровой балки, но неверно для полки (особенно там, где стенка пересекает полки). Тем не менее, стенка двутавровой балки принимает на себя подавляющую часть силы сдвига (примерно 90–98%, по Гиру), и поэтому можно консервативно предположить, что стенка несет всю силу сдвига.

Первый момент площади стенки двутавровой балки определяется по формуле:

Напряжение сдвига вдоль стенки двутавровой балки определяется по формуле:

где t _w — толщина стенки, а I _c — центральный момент инерции двутавровой балки:

Максимальное значение напряжения сдвига возникает на нейтральной оси ( y ₁ = 0 ), а минимальное значение напряжения сдвига в стенке возникает на внешних волокнах стенки, где она пересекает полки y ₁ = ±h _w /2 ):

PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации на основе этой справочной страницы по анализу луча. Этот курс можно использовать для выполнения кредитных требований PDH для поддержания вашей лицензии PE.

Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, заработайте за это признание!

Просмотреть курс сейчас:

Просмотреть курс

Таблицы прогиба балки

В таблицах ниже приведены уравнения для прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных условий на концах и нагрузок. Вы можете найти исчерпывающие таблицы в таких справочниках, как Gere, Lindeburg и Shigley. Однако приведенные ниже таблицы охватывают большинство распространенных случаев.

Консольные балки

Консоль, торцевая нагрузка		@ х = L @ х = L В = +F М = -F (L — х) M макс. = −FL @ х = 0
Консоль, промежуточная нагрузка		(0 ≤ х ≤ а) ( а ≤ х ≤ L ) @ х = L (0 ≤ х ≤ а) ( а ≤ х ≤ L ) В = +F (0 ≤ х ≤ а) В = 0 ( а ≤ х ≤ L ) М = -F (а — х) (0 ≤ х ≤ а) М = 0 (а ≤ х ≤ L)
Консоль, равномерно распределенная нагрузка		@ х = L @ х = L V = +w (L − x) В макс. = +wL @ х = 0 М = -w (L — x) 2 / 2 M макс. = −wL 2 / 2 @ х = 0
Консоль, треугольная распределенная нагрузка		@ х = L @ х = L В макс. = +w 1 L / 2 @ х = 0 M макс. = −w 1 L 2 / 6 @ х = 0
Консоль, Конечный момент		@ х = L @ х = L М = -М 0

Просто поддерживаемые балки

Простая опора, промежуточная нагрузка		(0 ≤ х ≤ а) Для a ≥ b: @ (0 ≤ х ≤ а) @ х = 0 @ х = L В 1 = +Fb / L (0 ≤ х ≤ а) В 2 = −Fa / L ( а ≤ х ≤ L ) M макс. = +Fab / L @ х = а
Простая опора, центральная нагрузка		(0 ≤ х ≤ L/2) @ х = L/2 (0 ≤ х ≤ L/2) @ х = 0 @ х = L В 1 = +F / 2 (0 ≤ х ≤ L/2) В 2 = −F / 2 (L/2 ≤ x ≤ L) M макс. = FL / 4 @ х = L/2
Просто поддерживаемый, 2 нагрузки на равном расстоянии от опор		(0 ≤ х ≤ а) ( а ≤ х ≤ L — а ) @ х = L/2 (0 ≤ х ≤ а) ( а ≤ х ≤ L — а ) @ х = 0 @ х = L В 1 = +F (0 ≤ х ≤ а) В 2 = −F ( L — а ≤ x ≤ L ) M макс. = Fa ( а ≤ х ≤ L — а )
Просто поддерживаемая, равномерная распределенная нагрузка		@ х = L/2 @ х = 0 @ х = L V = w (L/2 − x) В 1 = +wL / 2 @ х = 0 В 2 = −wL / 2 @ х = L M макс. = ширина 2 / 8 @ х = L/2
Простая опора, момент на каждой опоре		@ х = L/2 @ х = 0 @ х = L М = М 0
Простая опора, момент в одну опору		@ x = L (1 − √3/3) @ х = 0 @ х = L В = −М 0 / л М макс. Разное Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Copyright © 2013 - 2019 KS-MOTO +7 (911) 924 3 942 +7 (812) 924 3 942 г. Санкт-Петербург,