Продажа квадроциклов, снегоходов и мототехники
second logo
Пн-Чт: 10:00-20:00
Пт-Сб: 10:00-19:00 Вс: выходной

+7 (812) 924 3 942

+7 (911) 924 3 942

Содержание

Максимальный вращающий магнитный момент | Физика. Закон, формула, лекция, шпаргалка, шпора, доклад, ГДЗ, решебник, конспект, кратко

Рис. 6.8. Вращающее действие маг­нитного поля на виток с током

Действие магнитного поля на виток с током позволяет использовать его и для определения модуля магнитной индукции. По­ворачивание витка в магнитном поле свиде­тельствует о том, что на него действуют по меньшей мере две силы. Равнодействующие этих сил будут приложены в точках A и B (рис. 6.8). Вращающий момент, действую­щий на виток, будет равен произведению одной из этих сил на радиус витка r. Этот момент не обязательно рассчитывать. Его можно измерить с помощью спиральной пружины или другого чувствительного ус­тройства для измерения механического мо­мента, соединенных с витком.

Опыты показывают, что виток с током в магнитном поле всегда поворачивается так, что направление его нормали совпадает с направлением магнитной индукции исследуемого поля

B̅. Очевидно, что в этом случае вращающий момент будет равен нулю. Он будет иметь максимальное значение тогда, когда угол между магнитной индукцией и нормалью будет равен 90°.

Магнитную индукцию можно определить по силовому дей­ствию магнитного поля на ви­ток с током.

Не изменяя силы тока в проводнике, исследуем, как зависит значение максималь­ного вращающего момента от параметров витка.

Расположив виток на определенном рас­стоянии от проводника с током, измерим максимальный вращающий момент Mmax для определенного значения силы тока в витке I1. Увеличим силу тока в витке в два раза. При I2 = 2I1 максимальный ме­ханический момент будет равен Mmax2 = 2Mmax1. То же самое будем наблюдать при увеличении силы тока в 3, 4, 5 раз. Таким образом,

максимальное значение вращающего момента, который действует на виток с током, будет пропорциональным силе тока в витке

Mmax ~ Iвит.

Вращающий момент, дейст­вующий на виток в магнитном поле, пропорционален силе то­ка в нем. Материал с сайта http://worldofschool.ru

Если заменить данный виток другим, с большей или меньшей площадью Sвит, то заметим соответствующее увеличение или уменьшение значения максимального вращающего момента. Таким образом,

макси­мальный вращающий момент, который дей­ствует на виток в магнитном поле, пропор­ционален его площади:

Mmax ~ Sвит.

Объединив результаты обоих этапов ис­следования, получим

Mmax

~ IвитSвит.

На этой странице материал по темам:
  • Максимальный вращающий

  • Разница между максимальным вращающим моментом физика

  • Определить вращающий момент, действующий на виток

  • Вращающий момент формула магнетизм

  • Что такое максимальный вращающий момент физика

Вращающий момент | Электротехника

Электромагнитный момент.

Электромагнитный момент Мэм возникает под влиянием сил, действующих на проводники ротора, которые находятся во вращающемся магнитном поле. Обозначим мгновенное значение тока ротора через i2s(рис. 3.16), магнитную индукцию в этой же точке через В и  длину  проводника  через l ( длина  пакета ротора). Тогда сила, действующая на проводник, f = В l i2s

Индукция

В и ток ротора i2s в каждый данный момент времени распределены вдоль окружности ротора примерно по синусоидальному закону, т. е.

— координата, определяющая положение проводника на роторе (рис. 3.16), а ψ2 — угол сдвига фаз между ЭДС  e2s (согласно п. 3.4.1 ЭДС  e2s совпадает по фазе с индукцией В) и током ротора  i2s. Таким образом,

Средняя сила, действующая на проводник, определяется как интеграл вдоль окружности ротора от силы  f, действующей на один проводник:

Заменяя произведение синусов на разность косинусов, получаем:

Интеграл от второго слагаемого, как интеграл за два периода косинусоидальной функции, равен нулю. Тогда

Обозначим число проводников ротора через N2 . Сила, действующая на все проводники, будет F = N2fср. Вращающий момент есть произведение силы F на радиус ротора, т. е. M = FD/2. Зная, что полюсное деление и для синусоиды   , находим момент:

Обозначим постоянную

Тогда

(3.20) В этом выражении   , где R2 — активное сопротивление, а X2

s индуктивное сопротивление фазы вращающегося ротора. Формула (3.20) показывает, что вращающий момент двигателя создается за счет взаимодействия магнитного потока и тока в обмотке ротора.

Влияние скольжения s и напряжения на фазе статора на вращающий момент двигателя. В (3.20) значение тока определяется из выражения где E2s и I2s— ЭДС и ток фазы вращающегося ротора;

Подставляя значения I2s и   cos Ψ2 в (3.20), получаем:

(3.21)

Если учесть, что

,

то (3.21) можно переписать:

Постоянная

,

где w2 — число витков ротора; на одну фазу статора (число фаз равно трем).

Подставляя значения в (3.22), находим:

Используя приведенные значения активного и индуктивного сопротивлений фазы ротора, получаем:

Если пренебречь падением напряжения в обмотке статора,  формула принимает вид

(3.22а)

Погрешность в определении момента при применении формулы (3.22а) не превышает 5 %,что вполне допустимо для инженерных задач. Из (3.22а) видно, что вращающий момент пропорционален квадрату напряжения фазы статора. Изменение U1существенно сказывается на моменте. Так, если U1падает на 10 %, то момент падает на 19 %.

Формула (3.22а) может быть выведена также из формулы механической мощности двигателя:

где m— число фаз двигателя. Так как , где          — угловая скорость вращающегося поля, то

где ω1 — угловая частота тока в сети.

Учитывая формулу (3.19) и обозначая X1 + X`2, получаем:

.                                 (3.23)

3.11.3. Характеристика момент-скольжение.

Характеристика момент-скольжение M(s), построенная по (3.23) изображена на рис. 3.17. Точка s= 0, М = 0 соответствует идеальному холостому ходу двигателя, а точка Мном, sном — номинальному режиму. Участок ОН графика — рабочий участок. На этом участке зависимость

M(s) практически линейная. Действительно скольжение на этом участке  s= 0 + 0,08, поэтому и в формуле (3.23) значением к)2 можно пренебречь. Тогда (3.23) принимает вид где — величина для данного двигателя постоянная.

Участок НК, графика соответствует механической перегрузке двигателя. В точке К вращающий момент достигает максимального значения и называется критическим моментом. Скольжение sк, соответствующее критическому моменту, называется критическим скольжением.

Участок ОК характеристики — участок статически устойчивой работы двигателя (под устойчивой работой понимается свойство двигателя автоматически компенсировать малые отклонения в режиме работы за счет собственных характеристик). Пусть, например, в установившемся режиме

вр=М) по какой-либо причине момент сопротивления увеличится и станет равным М’>М. Тогда последует переходный процесс: частота вращения ротора п уменьшится, скольжение s увеличится, Мвр согласно характеристике M(s) возрастет и двигатель выйдет на новый установившийся режим, характеризующийся пониженной частотой вращения n и равенством моментов  М’вр = М’.

Статически устойчивый участок характеризуется положительной производной

dM/ds>0. Значение критического момента Мк может быть найдено из условия dM/ds

. (3.24)

Приравнивая (3.24) нулю, получаем значение критического скольжения

(3.25)

Подставив sкв (3.23), получим

(3.26)

Отношение Мк/Мном=kм называется кратностью максимального момента. У серийных двигателейkм=1,7/3,4. .

Участок КП участок неустойчивой работы. Если по какой-либо причине Мсстанет больше Мвр , то анализ, аналогичный анализу для устойчивого участка, показывает, что Мвр не увеличится, а, наоборот, уменьшится, что приведет к увеличению скольжения и еще большему уменьшению вращающего момента – практически ротор двигателя мгновенно остановится (рис. 3.17, точка П). Участок неустойчивой работы характеризуется отрицательной производной: dM/ds<0.

В точке П скольжение sп=1 (n=0).

На участке ПТ скольжение s>1 . Это возможно, когда направление вращения ротора противоположно направлению вращения поля. Действительно, в этом случае     s= n1 — (-n)/n1 > 1. Значение скольжения s > 1 характеризует тормозной режим двигателя, подробно рассмотренный в § 3.16.

Выражение момента в о. е.(формула Клосса) Для вывода формулы момента в относительных единицах воспользуемся выражением (3.25), т. е. в (3.23) вместо 3PU12 подставим его значение 1XkMk и учтем, что R2 = skXk . В результате преобразования получим формулу Клосса:

. (3.27)

FTF 3 semestr.ISAEV / 16

Контур с током в магнитном поле. Момент сил, действующий на рамку с током. Магнитный момент.

Положим, что контур имеет форму прямоугольной рамки (рис. 23.2). Согласно формуле силы Ампера силы, действующие на ребра перпендикулярны к ним и к магнитной индукции и поэтому стремятся только растянуть (или сжать) виток.

Силы же действующие на ребра , стремятся повернуть виток так, чтобы его плоскость стала перпендикулярна . Следовательно, на виток действует пара сил с некоторым моментом .

Момент пары сил равен произведению силы на плечо , то есть .

Подставляя вместо силы , получим . Произведение – площадь рамки .

(*)

Введем понятие магнитного момента контура с током (рис. 23.3). Если – единичный вектор нормали к плоскости контура, – площадь контура с током , то магнитный момент

Рис. 23.2

Модуль магнитного момента .

Выражение (*) перепишем в виде , а в векторной форме:

Рис. 23.3

Из этого выражения следует, что вращающий момент будет стремиться к 0, когда , т.е. рамка будет расположена перпендикулярно силовым линиям поля.

Примечание: из последнего уравнения можно дать определение магнитной индукции как максимального вращающего момента к магнитному моменту рамки.

Поле кругового тока

Имеется виток с током радиусом . Необходимо найти магнитную индукцию в центре витка (рис. 23.7)

Магнитная индукция от элемента витка в центре по закону Био-Савара

.

Элемент витка можно выразить как дугу окружности

Рис. 23.8

Ввиду малости можно считать , тогда

.

Проведя интегрирование, получим:

Таким образом, поле в центре витка с током:

Магнитный диполь во внешнем магнитном поле

      Рассмотрим малый тонкий замкнутый контур , по которому течет ток  в направлении вектора . Если этот контур помещен во внешнее по отношению к нему магнитное поле с магнитной индукцией , то по выражению для силы Ампера можно рассчитать силу, действующую на контур в целом:

     

,

(4.23)

     

.

(4.24)

     При вычислении выражения (4.24) оказывается полезной обобщенная теорема Стокса (математическое утверждение):

     

(4.25)

     где оператор  имеет общепринятое представление. Воспользуемся допущением, что характерный линейный размер контура с током (магнитный диполь) мал по сравнению с характерным линейным размером, на котором существенно изменяются параметры внешнего магнитного поля, и вынесем из под знака интеграла мало меняющиеся величины:

     

.

(4.26)

     Далее используем известное тождество векторного анализа

     

,

     и то обстоятельство, что , и получим:

     

(4.27)

     Заметим, что формула (4.27) отличается от подобной ей формулы для электрического диполя в электрическом поле напряженности  вторым слагаемым. Дело в том, что в электростатике имеет место уравнение , а в магнитостатике имеем , поэтому в отсутствие объемной плотности токов , текущих в точке расположения диполя , получаем

     

(4.28)

     а в общем случае справедлива формула (4.27). С учетом того, что величина  — постоянная векторная величина, а , формулу (4.27) можно записать в виде:

     

(4.29)

     Из полученных зависимостей следует, что результирующая сила, действующая на малый контур с током во внешнем магнитном поле, отлична от нуля только в неоднородном векторном поле магнитной индукции

.

     

Рис. 4.4. Магнитный диполь взаимодействует с внешним магнитным полем

     Элементарный момент силы Ампера, действующий на элемент контура с током , относительно начала координат описывается выражением:

     

,

(4.30)

     где — радиус-вектор расположения элемента . Для замкнутого контура имеем:

     

(4.31)

     После использования обобщенной теорема Стокса получаем:

     

.

(4.32)

     Вынося за знак интеграла медленно меняющиеся функции и вспоминая определение магнитного момента диполя, получаем:

     

(4.33)

     Далее используем соотношения:

     

     и получаем:

     

.

(4.34)

     Последний член в правой части формулы (4.34) тождественно равен нулю, а второй и третий связаны с расстоянием диполя от начала координат. Если начало координат расположить в месте расположения диполя, эти члены обратятся в ноль. Только первое слагаемое формулы (4.34) не зависит от выбора начала координат и в силу этого представляет собой момент сил, действующий на малый замкнутый контур с током во внешнем магнитном поле с магнитной индукцией :

     

.

(4.35)

     Выражение (4.35) совпадает по форме с аналогичным выражением для момента сил, действующих на малый электрический диполь  во внешнем электрическом поле напряженности . Момент  обращается в ноль при условии параллельности (или антипараллельности) векторов  и , т. е. если  направлен строго по внешнему полю , или строго против внешнего поля . При малом отклонении вектора  от направления  (если это направление было состоянием равновесия) возникающий момент сил имеет «возвращающий» характер и в гармоническом приближении пропорционален углу отклонения.

      Если вернуться к формуле (4.29), то ее структура позволит нам сделать предположение, что потенциальная функция магнитного диполя во внешнем магнитном поле имеет вид.

     

,

(4.36)

     где  — угол между векторами  и .

      Ниже обсудим границы применимости соотношения (4.36). Вычислим дифференциал функции (4.36):

     

.

(4.37)

     Изменение потенциальной функции (4.37) учитывает возможность поворота вектора  на угол  и смещение его как целого на вектор , при этом предполагается, что модуль величины  сохраняет постоянное значение. Из соотношения (4.37) можно получить:

     

(4.38)

     В зависимости (4.38) сомножитель при  представляет собой силу, а сомножитель при элементарном угле поворота — момент сил, действующих на магнитный диполь.

      Благодаря этим результатам выражение (4.36) можно принять за потенциальную функцию магнитного диполя во внешнем магнитном поле.

      Заметим, что в соответствии с выражением (4.36) потенциальная функция магнитного диполя во внешнем магнитном поле минимальна, если вектор магнитного момента диполя ориентирован по силовой линии магнитной индукции, и максимальна, если вектор магнитного момента диполя ориентирован строго против направления вектора магнитной индукции. Состояние системы с первой ориентацией более предпочтительное, состояние со второй ориентацией является неустойчивым.

      Существенным различием проявления свойств электрического и магнитного диполей является то, что электрический диполь «внутри себя» ослабляет внешнее поле, вдоль силовой линии которого он ориентирован, а магнитный диполь усиливает внешнее поле вдоль силовой линии, если она проходит через «контур диполя».

Рис. 4.5. Смещение контура с током во внешнем магнитном поле

     Учитывая важность вычисления работы при перемещениях или деформациях замкнутого или разомкнутого контура с током для практических приложений, вычислим эту величину без учета предположения о малой величине замкнутого контура.

      Рассмотрим сначала разомкнутый контур с элементом тока . Если в процессе движения элемент с током смещается на величину , то работа, совершаемая при этом, равна

     

.

(4.39)

     Поскольку

     

     в силу свойств смешанного произведения векторов, а , где  — вектор единичной нормали к элементу поверхности , образованного векторами  и , то из соотношения (4.39) получаем:

     

     где  -элемент потока вектора  через поверхность . Для работы в целом имеет место соотношение

     

.

(4.41)

     По выводу зависимости (4.41) поверхность построена как поверхность, «ометаемая» отрезком кривой, по которому течет ток, в реальном движении. В силу свойств магнитостатического поля  в формуле (4.41) можно использовать любую (произвольную) поверхность, которая опирается на замкнутый контур из начального положения отрезка кривой , конечного положения отрезка кривой  и из траектории начальной граничной точки и траектории конечной граничной точки рассматриваемого отрезка.

      Рассмотрим замкнутый контур , по которому течет ток  во внешнем магнитном поле с индукцией

.

     

Рис. 4.6. К расчету работы при перемещении замкнутого контура с током во внешнем магнитном поле

     Пусть начальное положение контура  описывалось кривой , а конечное —  (рис. 4.3). Пусть на контур  натянута поверхность а на контур  натянута поверхность , а боковая поверхность «ометаемого» тела построена как поверхность, по которой перемещается элемент  из положения  в положение .

      С точностью до бесконечно малых второго порядка запишем выражение для работы по перемещению элемента с током из первого положения во второе:

     

,

(4.42)

     где  -элемент боковой поверхности описанного выше тела, -направление внешней нормали к этому элементу. Из теоремы Гаусса в интегральной форме для вектора легко получить

     

.

(4.43)

     Из соотношения (4.43) следует:

     

.

(4.44)

     Соотношение (4.44) получено без использования предположения о малости контура с током.

      Для элементарной работы по перемещению контура с током в пространстве получим

     

.

(4.45)

      Подробная последовательность вычислений в формулах (4.45) проясняет, в каком месте существенно использована посылка о малой величине контура с током при выводе соотношения (4.36).

Формула индукции магнитного поля, B

Направлением вектора магнитной индукции считают направление на север магнитной стрелки, которая может свободно вращаться в магнитном поле. Такое же направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру, по которому течет ток. Положительная нормаль имеет направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта (буравчика), если его вращают по направлению тока в контуре.

Модуль вектора магнитной индукции можно установить, используя силу, которая действует на проводники с током, помещенные в магнитное поле (силу Ампера). Тогда модуль вектора равен частному от деления максимальной силы (), с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника ():

   

Рассматривая силу Лоренца, которая действует на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, получают формулу для магнитной индукции в виде:

   

где – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; – это угол между векторами и . Направления , векторов и связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля, считают так же следующее выражение:

   

где – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом , равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Вращающий момент (M), действующий на контур с током I в однородном магнитном поле можно вычислить как:

   

где S – площадь, которую обтекает ток I. Следует помнить, что максимальный вращающий момент получается тогда, когда плоскость контура параллельна линиям магнитной индукции поля ().

Принцип суперпозиции магнитных полей

Если магнитное поле получается в результат наложения нескольких магнитных полей то, магнитная индукция поля (), может быть найдена как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей ():

   

Закон Био-Савара-Лапласа, как формула для вычисления величины индукции магнитного поля

Закон Био-Савара – Лапласа является одним из распространенных законов, который позволяет вычислить вектор магнитной индукции () в любой точке магнитного поля, создаваемого в вакууме элементарным проводником с током:

   

где I – сила тока; – вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока; – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле; – магнитная постоянная. Вектор является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены и , конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме( и в веществе (), при одинаковых условиях, связывает формула:

   

где – относительная магнитная проницаемость вещества.

Частные случаи формул для вычисления модуля вектора магнитной индукции

Формула для вычисления модуля вектора индукции в центре кругового витка с током (I):

   

где R – радиус витка.

Модуль вектора магнитной индукции поля, которое создает бесконечно длинный прямой проводник с током:

   

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой рассматривается поле.

В средней части соленоида магнитная индукция поля вычисляется при помощи формулы:

   

где n – количество витков соленоида на единицу длины; I – сила тока в витке.

Примеры решения задач по теме «Индукция магнитного поля»

Из проволоки длиной 20 см сделали квадратный контур. Найти максимальный вращающий

Условие задачи:

Из проволоки длиной 20 см сделали квадратный контур. Найти максимальный вращающий момент сил, действующий на контур, помещенный в магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. По контуру течет ток 2 А.

Задача №8.3.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=20\) см, \(B=0,1\) Тл, \(I=2\) А, \(M_{\max}-?\)

Решение задачи:

Если в однородное магнитное поле внести рамку (или плоский контур, что то же самое), по которой течет ток, то в общем случае на стороны рамки будут действовать силы Ампера. Эти силы создадут вращающий момент сил \(M\), который можно найти по следующей формуле:

\[M = BIS\sin \alpha \]

В этой формуле \(B\) – индукция магнитного поля, \(I\) – сила текущего в рамке (контуре) тока, \(S\) – площадь рамки (контура), \(\alpha\) – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции.{ – 4}}\;Н \cdot м\]

Ответ: 5·10

-4 Н·м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.3.14 Определить индукцию однородного магнитного поля, если на прямоугольную рамку
8.3.16 Определить вращающий момент плоского контура площадью 0,04 м2, помещенного
8.3.17 Определить поток вектора магнитной индукции через плоскую поверхность площадью

притягиваемся и отталкиваемся » ГДЗ онлайн

Автор Беликова Ирина На чтение 20 мин Просмотров 4

В этой главе…

  • Движемся сквозь магнитное поле
  • Ловим движущиеся заряды
  • Определяем силы, вызванные магнитными полями
  • Изучаем поведение заряженных частиц в магнитном поле
  • Путешествуем вместе с током в магнитных полях
  • Создаем однородное магнитное поле с помощью соленоидов

Сильная связь между электричеством и магнетизмом наблюдается как при движении зарядов, создающих магнитное поле (как в электромагнитах и электродвигателях), так и при движении магнитов, создающих электрическое поле (как в электрических генераторах). Даже электроны, мчась по своим орбитам в атомах физического тела, генерируют магнитные поля. Эта глава посвящена магнетизму и его свойствам. Она начинается с описания свойств постоянных магнитов, затем продолжается рассказом о силах, возникающих под влиянием магнитного поля, и о том, что происходит с зарядами в этом поле.

Управление спутниками, которым нужна постоянная ориентация на звезды, Луну или на земные объекты, часто выполняется с помощью магнитной стрелки, которая управляется не реактивными двигателями, а магнитным полем Земли. Магнетизм и в космосе — сила!

Ищем источник магнетизма

Если вы когда-то держали в руке два магнита, то знаете, что между ними могут возникнуть силы притяжения или отталкивания. Эти силы являются результатом действия магнитных полей, созданных на микроскопическом уровне.

В физических телах атомы генерируют крошечные магнитные поля, которые имеют беспорядочную ориентацию. Поэтому все эти поля нейтрализуют друг друга. Однако в некоторых веществах, таких как железо, атомы можно ориентировать таким образом, чтобы значительная часть их крохотных магнитных полей указывала в одном и том же направлении. В результате железо способно создать большое (макроскопическое) магнитное поле. Если тело способно создавать магнитное поле без внешнего воздействия, то оно называется постоянным магнитом. Два таких магнита показаны на рис. 18.1. Как видите, каждое из них создает силу, действующую на другой магнит.

Магнетизм похож на электричество тем, что характеризуется положительными и отрицательными признаками в виде магнитных полюсов. Подобно тому, как линии электрических полей идут от положительных зарядов к отрицательным, так и линии магнитных полей идут от одного полюса к другому. В магнетизме полюса разного знака называются северным и южным.

Имена полюсов возникли в связи с использованием постоянных магнитов в компасах, где северный полюс ориентирован в северном направлении магнитного поля Земли.

Линии магнитного поля идут от северного полюса к южному, как показано на рис. 18.2 на примере постоянного магнита.

Воздействуем на движущийся заряд

Магниты влияют на электрический ток: они создают силу, которая действует на движущиеся в нем электрические заряды. Однако электрические заряды должны двигаться, иначе не будет силы, действующей на них со стороны магнитного поля.

Как это происходит, показано на рис. 18.3, где на заряд, движущийся со скоростью ​( mathbf{v} )​, через магнитное поле, показанное на рисунке вектором магнитной индукции ( mathbf{B} ), действует сила со стороны этого магнитного поля. (Подробнее о векторах можно узнать в главе 4.)

(Магнитное поле в точке пространства определяется такой векторной величиной, как магнитная индукция ( mathbf{B} ) в этой точке. Она играет ту же роль в магнетизме, что и напряженность электрического поля ( mathbf{E} ) в электростатике. Направление поля в точке — это направление в ней вектора магнитной индукции, указываемое стрелкой компаса в этой точке. Линии магнитного поля — это линии, проведенные так, что касательные к ним в каждой точке указывают направление магнитной индукции в этой точке. — Примеч. ред.)

Магнитное поле создает силу, которая действует на движущийся заряд. Куда же направлена эта сила? Ответ можно увидеть на рис. 18.3, как и правило правой руки, с помощью которого вы сможете самостоятельно отвечать на этот вопрос.

Правило правой руки относится к движущимся зарядам; ниже перечислены два его варианта — выбирайте из них тот, какой вам покажется более легким.

Вариант 1. Если все пальцы правой руки, кроме большого, поместить вдоль магнитного поля (на рис. 18.3 оно показано вектором ( mathbf{B} )), а большой палец этой руки — в направлении скорости ( mathbf{v} ) заряда, то сила, действующая на положительный заряд, должна выходить из ладони. Если заряд отрицательный, то сила направлена в противоположную сторону.

Вариант 2. Пальцы правой руки, кроме большого, поместите в направлении скорости v заряда, а затем сближайте их с ладонью, поворачивая на минимально возможный угол (меньший, чем 180°), пока они не будут указывать в направлении магнитного поля ( mathbf{B} ). Тогда большой палец правой руки будет указывать в направлении действия силы.

Эти правила, возможно, напомнят вам сведения о моменте силы (его иногда называют вращающим моментом) (глава 10). Дело в том, что вектор силы выходит из плоскости, образованной векторами ( mathbf{v} ) и ( mathbf{B} ).

(В русскоязычной литературе принято использовать правило левой руки: если положить левую руку на проводник так, чтобы четыре пальца указывали направление тока, а линии магнитной индукции входили в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на проводник. — Примеч. ред.)

Пользуясь любым из этих правил, вы сможете найти направление, в котором сила действует на движущийся заряд. Но насколько велика эта сила?

Вычисляем величину магнитной силы

Количественную величину магнитной силы полезно знать при работе с магнитами, например, для определения силы (в ньютонах), которая действует на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.

Дело в том, что эта сила пропорциональна как величине заряда, так и величине магнитной индукции. Кроме того, эта сила пропорциональна компоненту скорости, перпендикулярному вектору магнитной индукции. Другими словами, на заряд, движущийся вдоль направления магнитной индукции (или, как еще говорят, вдоль магнитного поля), никакая сила не действует. А на заряд, движущийся под прямым углом к магнитному полю, действует максимальная сила. Сведя эту информацию воедино, становится понятен смысл следующей формулы для величины силы, которая действует со стороны магнитного поля ( mathbf{B} ) на заряд ​( q )​, движущийся со скоростью ( mathbf{v} ) под углом ​( theta )​ между векторами ( mathbf{v} ) и ( mathbf{B} ):

На самом деле в физике определяется не сила магнитного поля через магнитную индукцию, а магнитная индукция посредством той силы, с которой она действует на положительный пробный заряд, то есть:

В системе СИ (см. главу 2) единицей магнитной индукции является тесла (Тл). А в системе СГС (см. также главу 2) такой единицей является гаусс (Гс). Они связаны друг с другом следующим образом: 1 Гс = 10-4 Тл.

Рассмотрим электрон в магнитном поле с индукцией в 12 Тс (громадная величина, учитывая, что индукция магнитного поля Земли на ее поверхности примерно равна 0,6 гаусса, или 6,0·10-5 Тс). Какая сила действует на электрон, если он несется со скоростью 1,0·106 м/с в направлении, перпендикулярном полю? Величина этой силы выражается формулой:

и нам остается только подставить в нее числа:

Сила, действующая на этот электрон, равна 1,92·10-12 Н и выглядит не такой уж большой. Однако следует напомнить, что электрон имеет слишком малую массу 9,11·10-31 кг. Каким будет ускорение этого электрона? Используя известную формулу второго закона Ньютона (согласно которой ускорение объекта равно отношению действующей на него силы и массы), получим:

Получается просто колоссальная даже для электрона величина, примерно равная 215 000 000 000 000 000 ​( g )​, где ​( g )​ — это ускорение свободного падения в поле силы тяжести на поверхности Земли. С другой стороны, если бы этот электрон двигался вдоль магнитного поля, то никакие магнитные силы на него не действовали бы.

Движение по орбитам: заряженные частицы в магнитных полях

Положительный заряд, помещенный в электрическое поле плоского конденсатора (см. главу 17), будет двигаться в направлении, противоположном направлению линий поля. Дело в том, что эти линии выходят из зарядов, которые расположены на положительной пластине, отталкивающей положительный заряд. Впрочем, когда речь идет о магнитном поле, то здесь все иначе из-за того, что магнитное поле не действует на параллельно движущиеся заряды. На рис. 18.4 показан путь положительного заряда, движущегося перпендикулярно к силовым линиям магнитного поля.

Заметили на рисунке крестики? Так в физике принято обозначать направление линий магнитного поля, когда они направлены от читателя и входят в страницу вдоль перпендикуляра к ней. Подразумевается, что крестики обозначают концы воображаемых векторных стрелок, которые именно так выглядят сзади. Положительный заряд движется по прямой, пока не войдет в магнитное поле и не начнет подвергаться силовому воздействию. Как можно проверить с помощью правила правой (или левой) руки, сила магнитного поля будет направлена вверх и, как показано на рисунке, будет делать путь заряженной частицы изогнутым.

Магнитные поля не выполняют работу…

Как известно, на заряженную частицу в магнитном поле действует сила, но какую работу проделывает магнитное поле над этим зарядом? Да, хороший вопрос.

Когда заряд движется в электрическом поле, оно выполняет с ним работу, благодаря которой и вводится понятие разности потенциалов, т.е. проделанной над зарядом работы ​( W )​, деленной на величину этого заряда ​( q )​ (иными словами, работы, проделанной над одним кулоном):

А какую работу проделывает над зарядом магнитное поле? Ее можно вычислить таким образом (как показано в главе 6):

где ​( s )​ — это расстояние. Так… Вы уже заметили? Здесь ​( theta )​ — это угол между силой и направлением, вдоль которого она действует. Но, согласно правилу правой руки, для зарядов в магнитном поле угол ( theta ) всегда равен 90°, a cos90° = 0, т.е. работа, которая выполняется магнитным полем над движущимся зарядом, равна нулю.

Эта особенность является еще одним важным отличием электрического и магнитного полей. Электрическое поле всегда выполняет работу над движущимся зарядом, а магнитное поле — никогда, и потому оно не может изменить его кинетическую энергию.

…но влияют на движущиеся заряженные частицы

Несмотря на нежелание работать с движущейся заряженной частицей, магнитное поле может изменить направление движения этой частицы (что оно и делает). На самом деле, если направление движения заряда можно свободно менять, то магнитное поле будет всегда это делать, так как сила, действующая на заряд, всегда направлена перпендикулярно его движению.

Не припомните какой-то другой вид движения, направление которого всегда перпендикулярно приложенной силе? Ну конечно, это вращательное движение, о котором говорилось в главе 7. Такое движение заряда можно увидеть на рис. 18.4, когда он проходит через магнитное поле. Так как магнитные поля действуют на заряд перпендикулярно направлению его движения, то движение зарядов, не выходящих за пределы магнитного поля, будет вращательным.

Посмотрите на рис. 18.5, где положительный заряд движется в магнитном поле влево. Поле ( mathbf{B} ) направлено вверх от плоскости страницы к читателю. Откуда это известно? Видите все эти точки внутри кружочков? Так же, как крестик обозначает стрелку вектора, направленную от читателя, так и точка внутри кружочка обозначает стрелку, направленную к читателю. Поэтому сейчас поле ​( mathbf{B} )​ направлено вверх, т.е. от страницы к читателю.

Итак, поле ( mathbf{B} ) направлено от страницы к читателю, а положительный заряд движется влево. Используя правило правой (или левой) руки, можно сказать, что результирующая сила направлена вверх (подробнее о правиле правой руки рассказывается выше в этой главе). Под действием силы, направленной вверх, заряд также движется вверх. Но так как благодаря действию магнитного поля сила всегда перпендикулярна направлению движения, то она также меняет свое направление. Вот формула величины силы:

Так как в данном случае вектор скорости ( mathbf{v} ) перпендикулярен вектору магнитной индукции ( mathbf{B} ), то ​( theta )​ = 90°, или ​( sin!theta )​ = 1, а это означает, что:

Так как сила всегда перпендикулярна направлению движения, то таким образом возникает движение по кругу. Другими словами, она является ничем иным, как центростремительной силой, нужной для обеспечения вращательного движения (глава 7).

где ​( m )​ — это масса частицы, а ​( r )​ — радиус орбиты вращательного движения. Таким образом, получаем:

Отсюда легко найти радиус орбиты вращательного движения:

Таким образом, можно вычислить радиус орбиты вращательного движения заряда ​( q )​ массой ​( m )​, движущегося со скоростью ​( mathbf{v} )​ в магнитном поле с индукцией ( mathbf{B} ). Чем магнитная индукция сильнее, тем радиус меньше. А чем быстрее движется заряд и чем больше его масса, тем радиус больше.

Тяни-толкай на основе электрических токов

Информация, полученная в этой главе до сих пор, просто удивительна, но как часто нам приходится иметь дело с движущимися зарядами? Возможно, кому-то и приходится работать с электронами, движущимися в вакууме, но большинство из нас сталкивается практически ежедневно не с одиночными движущимися зарядами, а с их группами, т.е. с электрическим током.

Сила, действующая на ток

Посмотрите на формулу силы, действующей на движущийся заряд:

где ​( q )​ — заряд, ​( v )​ — скорость, а ​( B )​ — значение магнитной индукции. Обладая полученными выше сведениями, нетрудно преобразовать эту формулу, одновременно поделив и умножив ее на ​( t )​ так, чтобы сама формула не изменилась:

Обратите внимание, что ​( q/t )​ — это заряд, проходящий через определенную точку за единицу времени, т.е. величина, известная под другим именем—электрический ток. Ну а ​( vt )​ — это всего лишь путь, который заряды проходят за время ​( t )​, поэтому прежнюю формулу можно переписать так:

Это сила, действующая на провод длины ​( L )​, через который проходит ток силой ​( I )​ в магнитном поле с индукцией ​( mathbf{B} )​ и расположенный к этому полю под углом ​( theta )​.

На рис. 18.6 показан провод, несущий ток силой ​( I )​ в магнитном поле с индукцией ( mathbf{B} ) и расположенный к этому полю под углом 90°. Поскольку в физике за направление тока принято направление движения положительного заряда, то легко найти силу, действующую на провод. Пусть ​( I )​ = 2,0 А и ​( B )​ = 10 Тл. Какая сила будет действовать на провод длиной 1 м? Так как провод перпендикулярен к магнитному полю, то:

Силу, действующую на единицу длины, можно найти по формуле:

Подставляя в нее численные значения, получим:

Двадцать ньютонов на метр длины — это довольно заметная величина.

Момент силы, действующий на проводник с током

В электромоторах обычно используются постоянные магниты, а поля, создаваемые этими магнитами, пронизывают электрические катушки. Эти катушки могут вращаться благодаря тому, что приложенная к ним сила создает вращающий момент силы (см. главу 10). Как происходит это вращение, можно увидеть на рис. 18.7.

На схеме А показан контур с током в магнитном поле, которое создает действующие на контур силы, подробно показанные на схеме Б того же рисунка. Эти силы создают вокруг центральной оси два момента силы. Как показано на указанной схеме Б, плечо силы (см. главу 11) каждого момента силы выражается следующей формулой:

где ​( d )​ — это ширина контура. Каждый момент силы — это сила ​( F )​, умноженная на плечо силы, а сама сила ​( F )​ равна произведению силы тока ​( I )​ на длину контура ​( L )​ и на величину магнитной индукции ​( B )​. Так как имеется два момента силы, соответствующие двум сторонам контура, то получится общий момент сил ​( M )​:

Получается интересный результат, так как произведение ​( dL )​ равно площади контура. Таким образом, для контура с площадью поперечного сечения ​( A )​ и углом ​( theta )​. показанным на схеме Б, получим следующую формулу вращающего момента силы:

Впрочем, как правило, катушки содержат большое количество витков провода, т.е. контуров. Например, если катушка состоит из ​( N )​ витков провода, то для получения общего вращающего момента силы надо вращающий момент силы в одном витке (контуре) умножить на их количество ​( N )​:

Теперь можно найти общий вращающий момент силы проволочной катушки, состоящей из ​( N )​ витков, через каждый из которых проходит ток силой ​( I )​, имеет площадь ​( A )​ поперечного сечения и расположен к магнитному полю с индукцией ​( B )​ под углом ​( theta )​. Ну наконец-то!

Рассмотрим следующую физическую задачу: найти максимально возможный вращающий момент силы, который будет испытывать в магнитном поле катушка из ​( N )​ витков. Чтобы найти этот момент, нужно выяснить, когда принимает максимальное значение множитель ​( sin!theta )​. Это возможно в случае, когда ​( theta )​ = 90°, т.е. ( sin!theta ) = 1. Итак, получаем формулу максимального вращающего момента силы:

Например, каков максимальный вращающий момент силы для катушки, состоящей из 2000 витков, через которую проходит ток силой 5 А, имеющей площадь поперечного сечения 1,0 м2 и находящейся в магнитном поле с индукцией в 10 Тл? Ответ получить довольно легко:

Итак, максимальный вращающий момент силы равен 1,0·105 Н·м. Он имеет такое большое значение, потому что используется катушка с большим количеством витков. А если ограничиться одним-единственным витком, то максимальный вращающий момент силы будет равен всего 50 Н·м. Вот почему вращающиеся части электромоторов имеют так много витков провода.

Определяем магнитное поле провода с током

Движущиеся электрические заряды не только реагируют на воздействие магнитных полей (например, меняют направление движения; см. раздел о движении заряженных частиц в магнитных полях), но и сами создают магнитные поля. Токи состоят из движущихся частиц с электрическим зарядом и поэтому являются удобным средством для создания магнитных полей.

Попробуем определить магнитное поле, генерируемое с помощью одиночного провода с электрическим током (рис. 18.8). Обладая навыками определения магнитного поля от провода с током, можно определять магнитное поле, генерируемое сложной конфигурацией проводов с током. Для этого надо будет всего лишь разбить их на “отдельные” провода, а затем вычислить векторную сумму магнитных полей всех проводов.

Из опыта известно, что чем больше расстояние от провода, тем слабее создаваемое им магнитное поле. Оно уменьшается обратно пропорционально расстоянию ​( r )​ от центра провода:

Забавное происшествие с гаечным ключом, ставшее исследованием магнитного поля

Еще будучи студентом, я проводил научные исследования в Национальной магнитной лаборатории Массачусетского технологического института, вблизи очень толстых кабелей, по которым проходил ток с очень большой силой, более 1000 А. Однажды я споткнулся об один из таких кабелей и уронил рядом с ним гаечный ключ. Поднимая этот ключ, я почувствовал мощное магнитное поле, генерируемое кабелем. Перемещая гаечный ключ вокруг кабеля на разных расстояниях от него, я убедился, что магнитное поле действительно уменьшается обратно пропорционально расстоянию от центра провода и является фуговым, как меня учили, ‘Вот это да!” — подумал я тогда. Впрочем, профессор, с которым я работал, сказал, чтобы я прекратил заниматься ерундой и принимался за работу.

Кроме того, известно, что магнитное поле пропорционально силе тока ​( I )​: если она удваивается, то магнитная индукция тоже удваивается. Таким образом:

Исторически сложилось, что константа пропорциональности в этой формуле имеет вид ​( mu_0/2pi )​, т.е. итоговая формула магнитной индукции провода с электрическим током имеет вид:

где ​( I )​ — это сила тока, текущего по проводу, ​( r )​ — расстояние от центра провода, a ​( mu_0 )​ — магнитная постоянная, равная 4π·10-7 N·A-2.

В какую сторону направлен вектор магнитной индукции для магнитного поля, созданного проводником с током? Чтобы это узнать, надо воспользоваться еще одним правилом правой руки. Если расположить большой палец этой руки по направлению тока, то остальные сжатые в кулак пальцы будут указывать круговое направление вектора магнитной индукции (см. рис. 18.8).

Пусть в проводе протекает ток силой 1000 А, а вы находитесь в 2 см от центра этого провода. Насколько большим будет магнитная индукция в этом месте? Как известно:

Тогда, подставив в эту формулу численные значения, получим:

Еще один пример. Пусть два параллельных провода расположены друг от друга на расстоянии ​( r )​ и по ним идет одинаковый ток силой ​( I )​. С какой силой на провод 1 действует провод 2? Как известно, сила, с которой магнитное поле с индукцией ( B ) действует на провод 1 с током силой ( I ), вычисляется по формуле:

Чему равно значение ​( B )​? На проводе 1 индуцируется магнитное поле проводом 2, которое вычисляется по формуле:

Поэтому:

Используя правило правой руки, можно убедиться, что если ток по проводам идет в одну сторону, то силы от них направлены навстречу друг другу, т.е. они притягиваются. И наоборот, если ток по проводам идет в разные стороны, то их силы взаимодействия направлены в противоположные стороны, т.е. провода отталкиваются.

Вычисляя магнитное поле в центре контура

Представьте себе, что на совещании группы разработчиков потребовалась ваша помощь. Взгляните на странное устройство, показанное на рис. 18.9. Вы видели что-либо подобное раньше?

“Конечно, — скажете вы. — Это ведь обычный контур с током.”

“Отлично, — ответят ваши коллеги. — Нам нужно вычислить магнитную индукцию в самом центре контура.”

“В самом центре?”

“Вот именно.”

“А мне заплатят?”

“Конечно.”

“Ладно, — скажете вы. — Магнитная индукция в самом центре контура с током определяется следующей формулой:

где ​( N )​ — количество витков контура, ​( I )​ — сила тока в нем, a ​( R )​ — радиус контура.”

А куда направлено магнитное поле? И на этот вопрос мы уже готовы дать ответ. Пусть все пальцы правой руки, кроме большого, сжимаются в кулак по направлению тока, тогда большой палец укажет направление вектора магнитной индукции ​( mathbf{B} )​ для магнитного поля, генерируемого контуром с током.

Пусть контур содержит не один виток, а 2000 витков, ток в нем равен 10 А, а радиус контура равен 10 см. Какова величина магнитной индукции в центре контура? Достаточно просто подставить численные значения в известную формулу:

Итак, контур из 2000 витков создает магнитное поле с магнитной индукцией 0,13 Тл.

Создаем однородное магнитное поле с помощью соленоида

Как создать однородное магнитное поле, т.е. такое же, как однородное электрическое поле, образуемое плоскими конденсаторами (см. главу 16)? Для этого нужно соединить друг с другом множество контуров тока, как показано на рис. 18.10.

Если расположить множество контуров друг за другом (как показано на схеме А), то внутри тоннеля, получившегося из этих контуров, образуется однородное магнитное поле (как показано на схеме Б).

Эта новая конструкция, создающая однородное магнитное поле, называется соленоидом. Итак, соленоид — это просто множество контуров, расположенных рядом друг с другом, благодаря чему и получается однородное магнитное поле.

Предположим, что для выполнения эксперимента надо создать однородное магнитное поле с индукцией в 1 Тл, используя соленоид с 100 тыс. витков на метр. Какой должна быть сила тока? Просто подставьте числа:

Какова же величина магнитной индукции поля, генерируемого соленоидом? Если длина соленоида гораздо больше его радиуса, то магнитная индукция поля, генерируемого соленоидом, вычисляется по следующей формуле:

где ​( n )​ — количество витков на единицу длины соленоида, ​( I )​ — сила тока в каждом витке. Чтобы определить направление вектора магнитной индукции поля, генерируемого соленоидом, следует использовать правило правой руки для контура с током (см. предыдущий раздел).

Итак, для получения нужного магнитного поля потребуется ток силой примерно 8 А.

Магнитное поле. Силы — материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: сила Ампера, сила Лоренца.

В отличие от электрического поля, которое действует на любой заряд, магнитное поле действует только на движущиеся заряженные частицы. При этом оказывается, что сила зависит не только от величины, но и от направления скорости заряда.

Сила Лоренца

Сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, называется силой Лоренца. Опыт показывает, что вектор силы Лоренца находится следующим образом.

1. Абсолютная величина силы Лоренца равна:

(1)

Здесь — абсолютная величина заряда, — скорость заряда, — индукция магнитного поля, — угол между векторами и .

2. Сила Лоренца перпендикулярна обоим векторам и . Иными словами, вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда и индукции магнитного поля.

Остаётся выяснить, в какое полупространство относительно данной плоскости направлена сила Лоренца.

3. Взаимное расположение векторов , и для положительного заряда показано на рис. 1.

Рис. 1. Сила Лоренца

Направление силы Лоренца определяется в данном случае по одному из двух альтернативных правил.

Правило часовой стрелки. Сила Лоренца направлена туда, глядя откуда кратчайший поворот вектора скорости частицы v к вектору магнитной индукции B виден против часовой стрелки.

Правило левой руки . Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали направление скорости частицы, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет направление силы Лоренца.
Для отрицательного заряда направление силы Лоренца меняется на противоположное.

Всё вышеперечисленное является обобщением опытных фактов. Формула (1) позволяет связать размерность индукции магнитного поля с размерностями других физических величин:

Сила Ампера

Если металлический проводник с током поместить в магнитное поле, то на этот проводник со стороны магнитного поля будет действовать сила, которая называется силой Ампера.

Происхождение силы Ампера легко понять. Ведь ток в металле является направленным движением электронов, а на каждый электрон действует сила Лоренца. Все эти силы Лоренца, действующие на свободные электроны, имеют одинаковое направление и одинаковую величину; они складываются друг с другом и дают результирующую силу Ампера.

Направление силы Ампера определяется по тем же двум правилам, сформулированным выше.

Правило часовой стрелки . Сила Ампера направлена туда, глядя откуда кратчайший поворот тока к полю виден против часовой стрелки .

Правило левой руки . Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали направление тока, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет направление силы Ампера .

Взаимное расположение тока, поля и силы Ампера указано на рис. 2.

Рис. 2. Сила Ампера

На этом рисунке проводник имеет длину , а угол между направлениями тока и поля равен . Мы сейчас выведем выражение для абсолютной величины силы Ампера.

На каждый свободный электрон действует сила Лоренца:

где — скорость направленного движения свободных электронов в проводнике.

Пусть — число свободных электронов в данном проводнике, — их концентрация (число в единице объёма). Тогда:

где — объём проводника, — площадь его поперечного сечения. Получаем:

Мы не случайно выделили скобками четыре сомножителя. Ведь это есть не что иное, как сила тока: (вспомните выражение силы тока через скорость направленного движения свободных зарядов!). В результате приходим к окончательной формуле для силы Ампера:

(2)

Хорошую возможность поупражняться в нахождении направлений магнитного поля и силы Ампера даёт взаимодействие параллельных токов. Оказывается, два параллельных провода отталкиваются, если направления токов в них противоположны, и притягиваются, если направления токов совпадают (рис. 3).

Рис. 3. Взаимодействие параллельных токов

Обязательно убедитесь в этом самостоятельно! Делаем так. Сначала берём произвольную точку на первом проводе и определяем направление магнитного поля, создаваемого в этой точке вторым проводом (правило вам известно — см. предыдущий листок>). Ну а затем находим направление силы Ампера, действующей на первый провод со стороны магнитного поля второго провода.

Рамка с током в магнитном поле

В листках по термодинамике мы говорили о важности циклически работающих машин: они снабжают нас энергией. Понимание законов термодинамики позволило сконструировать тепловые двигатели, которые исправно служат нам и по сей день.

Понимание же законов электромагнетизма дало возможность создать циклическую машину другого типа — электродвигатель.

Мы рассмотрим один из элементов электродвигателя — рамку с током в магнитном поле. Разобравшись в её поведении, мы сможем уловить основную идею функционирования электродвигателя.

Пусть прямоугольная рамка может вращаться вокруг горизонтальной оси (рис. 4, слева). Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле . Ток течёт по рамке в направлении ; это направление показано соответствующими стрелками.

Рис. 4. Рамка с током в магнитном поле

Вектор называется вектором нормали; он перпендикулярен плоскости рамки и направлен туда, глядя откуда ток кажется циркулирующим против часовой стрелки. (Иными словами, вектор сонаправлен с вектором индукции магнитного поля, которое создаётся током в рамке.) Поворот рамки измеряется углом между векторами и .

Теперь определим направления сил Ампера, которые действуют на рамку со стороны магнитного поля. Эти силы расставлены на рисунке; вот вам ещё одно упражнение на правило часовой стрелки (левой руки) — обязательно проверьте правильность указанных направлений!

Силы и , приложенные к сторонам и , действуют вдоль оси вращения. Они лишь растягивают рамку и не вызывают её вращение.

Куда более интересны силы и , приложеные соответственно к сторонам и . Они лежат в горизонтальной плоскости и перпендикулярны оси вращения. Эти силы вращают рамку в направлении по часовой стрелке, если смотреть справа (рис. 4, правая часть). Вычислим момент этой пары сил относительно оси вращения рамки.

Пусть длина стороны равна . Тогда

Пусть длина стороны равна . Плечо силы , как видно из рис. 4 (справа) равно:

Таким же будет плечо силы . Отсюда получаем момент сил, вращающий рамку:

Теперь заметим, что — площадь рамки. Окончательно имеем:

(3)

В этой формуле площадь служит единственной геометрической характеристикой рамки.Это наводит на мысль, что только площадь рамки и существенна в выражении для вращающего момента. И действительно, можно доказать (разбивая рамку на бесконечно узкие полоски, неотличимые от прямоугольников), что формула (3) справедлива для рамки любой формы с площадью .

Как видно из формулы (3), максимальный вращающий момент равен:

Эта максимальная величина момента достигается при , то есть когда плоскость рамки параллельна магнитному полю.

Вращающий момент становится равным нулю при и . Оба этих положения по-своему интересны.

При плоскость рамки перпендикулярна полю, а векторы и направлены в разные стороны. Данное положение является положением неустойчивого равновенсия: стоит хоть немного шевельнуть рамку, как силы Ампера начнут её вращать в том же направлении, поворачивая вектор к вектору (убедитесь!).

При плоскость рамки также перпендикулярна полю, а векторы и сонаправлены. Это — положение устойчивого равновенсия: при отклонении рамки возникает вращающий момент, стремящийся вернуть рамку назад (убедитесь!). Начнутся колебания рамки, постепенно затухающие из-за трения. В конце концов рамка остановится в положении ; в этом положении вектор индукции магнитного поля рамки сонаправлен с вектором индукции внешнего магнитного поля (вот почему при намагничивании вещества элементарные токи ориентируются так, что их поля направлены в сторону внешнего магнитного поля). Полезное сопоставление: рамка занимает такое положение, что её положительная нормаль ориентируется в том же направлении, что и северный конец стрелки компаса, помещённой в это магнитное поле.

Таким образом, поведение рамки в магнитном поле становится ясным: если отклонить рамку от положения устойчивого равновесия и отпустить, то рамка будет совершать колебания. С точки зрения совершения механической работы это не очень хорошо: если намотать нить на ось вращения и подвесить к нити груз, то груз будет то подниматься, то опускаться.
Но вот если исхитриться и заставить ток менять направление в нужные моменты, то вместо колебаний рамки начнётся её непрерывное вращение и, соответственно, непрерывный подъём подвешенного груза. Тогда-то и получится полноценный электродвигатель; идея с переменой направления тока реализуется с помощью коллектора и щёток.

Состояние максимального крутящего момента асинхронного двигателя и выражение


     В последней статье мы рассмотрели уравнение крутящего момента асинхронного двигателя, т. е. величина крутящего момента, создаваемого ротором, зависит от тока ротора, сопротивления ротора, реактивного сопротивления ротора и скольжения.

     Из характеристик скольжения крутящего момента асинхронного двигателя можно заметить, что крутящий момент двигателя прямо пропорционален скольжению до тех пор, пока двигатель не достигнет своего максимального крутящего момента T max i.д., при полной нагрузке. Как только величина нагрузки на двигатель соответствует тому, что он создал свой максимальный крутящий момент, таким образом, мы можем увидеть обратную зависимость (обратно пропорциональную) между крутящим моментом и скольжением для любого дальнейшего увеличения нагрузки.

На приведенном ниже рисунке показано влияние изменения нагрузки на асинхронный двигатель.


     Посмотрим условие и выражение для получения максимального крутящего момента в асинхронном двигателе.


Условия максимального крутящего момента асинхронного двигателя:


     Выражение для крутящего момента, создаваемого асинхронным двигателем в рабочем состоянии, имеет вид

     В асинхронном двигателе, чтобы получить условие максимального крутящего момента, дифференцируя уравнение крутящего момента по отношению к скольжению (поскольку скольжение является переменной величиной по отношению к крутящему моменту) и приравнивая его к нулю.

Следовательно,

Где
  • R 2 = сопротивление ротора
  • X 2 = реактивное сопротивление ротора
  • с = скольжение двигателя

     реактивное сопротивление ротора или, можно сказать, в рабочем состоянии создаваемый крутящий момент будет максимальным, когда сопротивление ротора равно реактивному сопротивлению ротора.

Из приведенного выше условия скольжение м ‘, при котором крутящий момент максимален, определяется выражением



Выражение для максимального крутящего момента:


     Выражение для максимального крутящего момента можно получить, подставив R
2 = s X 2 в уравнение крутящего момента.

Уравнение крутящего момента:


Подставив R
2 = s X 2 в приведенное выше уравнение,

Из выражения T

max можно заметить, что:
  1. Нет никакой зависимости между максимальным крутящим моментом и сопротивлением ротора (независимо от сопротивления ротора).
  2. Но здесь реактивное сопротивление ротора определяется сопротивлением ротора. Следовательно, максимальный крутящий момент также зависит от сопротивления ротора.
  3. Максимальный крутящий момент обратно пропорционален реактивному сопротивлению ротора i.е., как низкое реактивное сопротивление ротора, так и крутящий момент.
  4. Прямо пропорциональна квадрату ЭДС остановленного ротора.

Что такое максимальный крутящий момент асинхронного двигателя

В статье Уравнение крутящего момента асинхронного двигателя мы рассмотрели развиваемый крутящий момент и его уравнение. Здесь обсуждается условие максимального крутящего момента асинхронного двигателя. Крутящий момент, создаваемый асинхронным двигателем, в основном зависит от следующих трех факторов.Это сила тока ротора; поток взаимодействует между ротором двигателя и коэффициентом мощности ротора. Значение крутящего момента при работающем двигателе определяется уравнением, показанным ниже:

Общий импеданс сети RC всегда находится между и 90° . Импеданс — это сопротивление элемента электронной схемы протеканию тока. Если полное сопротивление обмотки статора принять пренебрежимо малым. Таким образом, при заданном напряжении питания V 1 , E 20 остается постоянным.

Развиваемый крутящий момент будет максимальным, когда правая часть уравнения (4) будет максимальной. Это условие возможно, когда значение показанного ниже знаменателя равно нулю.

Лет,

Следовательно, развиваемый крутящий момент максимален, когда сопротивление ротора на фазу равно реактивному сопротивлению ротора на фазу в рабочих условиях. Подставив значение sX 20 = R 2 в уравнение (1), мы получим уравнение для максимального крутящего момента .

Приведенное выше уравнение показывает, что максимальный крутящий момент не зависит от сопротивления ротора.

Если s M значение проскальзывания, соответствующее максимальному моменту, то из уравнения (5)

Таким образом, скорость ротора при максимальном крутящем моменте определяется приведенным ниже уравнением.

Из приведенного ниже уравнения (7) можно сделать следующий вывод о максимальном крутящем моменте.

  • Не зависит от сопротивления цепи ротора.
  •  Крутящий момент в максимальных условиях изменяется обратно пропорционально реактивному сопротивлению покоя ротора. Следовательно, для максимального крутящего момента X 20 и, следовательно, индуктивность ротора должна быть как можно меньше.
  • Изменяя сопротивление в цепи ротора, можно получить максимальный крутящий момент при любом желаемом скольжении или скорости. Оно зависит от сопротивления ротора при скольжении (s M = R 2 /X 20 ).

Для развития максимального крутящего момента в состоянии покоя сопротивление ротора должно быть высоким и должно быть равным X 20 .Но для развития максимального крутящего момента в рабочем состоянии сопротивление ротора должно быть низким.

Крутящий момент в токовой петле: двигатели и счетчики

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Опишите работу двигателей и счетчиков с точки зрения крутящего момента в токовой петле.
  • Рассчитайте крутящий момент на контуре с током в магнитном поле.

Двигатели являются наиболее распространенным приложением магнитной силы на проводах с током.В двигателях есть петли из проволоки в магнитном поле. Когда ток проходит через петли, магнитное поле оказывает крутящий момент на петли, который вращает вал. При этом электрическая энергия преобразуется в механическую работу. (См. рис. 1.)

Рис. 1. Крутящий момент в токовой петле. Проволочная петля с током, прикрепленная к вертикально вращающемуся валу, испытывает магнитные силы, которые создают крутящий момент по часовой стрелке, если смотреть сверху.

Давайте рассмотрим силу, действующую на каждый сегмент петли на рисунке 1 , чтобы найти крутящие моменты, возникающие вокруг оси вертикального вала.(Это приведет к полезному уравнению для крутящего момента на петле.) Мы считаем магнитное поле однородным по всей прямоугольной петле, которая имеет ширину 90 157 w 90 158 и высоту 90 157 l 90 158 . Во-первых, отметим, что силы на верхнем и нижнем сегментах вертикальны и, следовательно, параллельны валу, не создавая крутящего момента. Эти вертикальные силы равны по величине и противоположны по направлению, так что они также не производят результирующей силы на петле. На рис. 2 показаны виды петли сверху. Крутящий момент определяется как τ  = rF sin θ , где F — сила, r — расстояние от оси вращения, на которое действует сила, а θ 15 r — угол между и Ф .Как видно на рисунке 2(а), правило правой руки 1 дает силам на сторонах равные по величине и противоположные по направлению, так что результирующая сила снова равна нулю. Однако каждая сила создает крутящий момент по часовой стрелке. Так как r = w /2, крутящий момент на каждом вертикальном сегменте равен ( w /2) F sin θ , а сумма двух сумм дает общий крутящий момент.

[латекс]\tau =\frac{w}{2}F\sin\theta +\frac{w}{2}F\sin\theta =wF\sin\theta\\[/latex]

Рис. 2.Вид сверху на контур с током в магнитном поле. (a) Уравнение для крутящего момента получено с использованием этого представления. Обратите внимание, что перпендикуляр к петле образует угол θ с полем, равным углу между w/2 и F. (b) Максимальный крутящий момент возникает, когда θ является прямым углом и sin θ = 1. (c) Нулевой (минимальный) крутящий момент возникает, когда θ равно нулю и sin θ = 0. (d) Крутящий момент меняется на противоположное, как только петля поворачивается за пределы θ = 0,

Теперь каждый вертикальный сегмент имеет длину l , которая перпендикулярна B , так что сила, действующая на каждый, равна [латекс]F=IlB\\[/латекс].Ввод F в выражение для крутящего момента дает

[латекс]\тау = wILB\sin\тета\\[/латекс].

Если у нас есть кратная петля из Н оборотов, мы получаем Н раз больше крутящего момента одной петли. Наконец, обратите внимание, что площадь цикла равна A = wl ; выражение для крутящего момента становится

[латекс]\тау =NIAB\sin\theta\\[/латекс].

Это крутящий момент на петле с током в однородном магнитном поле. Можно показать, что это уравнение справедливо для петли любой формы.По петле течет ток I , она имеет N витков, площадь каждого A , а перпендикуляр к петле составляет угол θ с полем B . Суммарная сила, действующая на петлю, равна нулю.

Пример 1. Расчет крутящего момента на контуре с током в сильном магнитном поле

Найдите максимальный крутящий момент на квадратной петле из 100 витков провода длиной 10,0 см со стороной, по которой протекает ток 15,0 А в поле 2,00 Тл.

Стратегия

Крутящий момент на петле можно найти с помощью [латекс]\тау =НИАБ\sin\тета\\[/латекс].{2}\right)\left(2.00\text{ T}\right)\\ & =& 30.0 \text{ N}\cdot \text{m}\end{array}\\[/latex].

Обсуждение

Этот крутящий момент достаточно велик, чтобы его можно было использовать в двигателе.

Максимальный крутящий момент в предыдущем примере. Когда катушка вращается, крутящий момент уменьшается до нуля при θ  = 0. Затем крутящий момент меняет свое направление на противоположное , когда катушка вращается после θ  = 0. (См. рис. 2(d).) Это означает, что, если если мы что-то делаем, катушка будет колебаться взад-вперед относительно равновесия в точке θ = 0.Чтобы катушка продолжала вращаться в том же направлении, мы можем изменить направление тока при его прохождении через θ = 0 с помощью автоматических переключателей, называемых щетками . (См. рис. 3.)

Рис. 3. (a) Поскольку угловой момент катушки переносит ее через θ = 0, щетки меняют направление тока, чтобы сохранить крутящий момент по часовой стрелке. (b) Катушка будет непрерывно вращаться по часовой стрелке, при этом ток будет меняться на противоположное каждые пол-оборота, чтобы поддерживать крутящий момент по часовой стрелке.

Метры , такие как аналоговые датчики уровня топлива в автомобиле, являются еще одним распространенным применением магнитного крутящего момента в токопроводящей петле. На рис. 4 показано, что расходомер очень похож по конструкции на двигатель. Измеритель на рисунке имеет магниты, форма которых ограничивает влияние θ , делая B перпендикулярным петле в большом диапазоне углов. Таким образом, крутящий момент пропорционален I , а не θ . Линейная пружина создает противодействующий крутящий момент, который уравновешивает текущий крутящий момент.Это делает отклонение стрелки пропорциональным I . Если точная пропорциональность не может быть достигнута, показания манометра можно откалибровать. Для изготовления гальванометра для использования в аналоговых вольтметрах и амперметрах, которые имеют низкое сопротивление и реагируют на малые токи, мы используем большую площадь контура A , сильное магнитное поле B и катушки с низким сопротивлением.

Рисунок 4. Счетчики очень похожи на двигатели, но вращаются только на часть оборота. Магнитные полюса этого измерителя имеют такую ​​форму, чтобы компонент B оставался перпендикулярным контуру постоянным, так что крутящий момент не зависит от θ , а отклонение от возвратной пружины пропорционально только току I .

Резюме раздела

  • Крутящий момент τ на петле с током любой формы в однородном магнитном поле. является

    [латекс]\тау =NIAB\sin\theta\\[/латекс],

    , где N  количество витков, I  ток, A площадь контура, B  напряженность магнитного поля, а θ угол между перпендикуляром к контуру и магнитное поле.

Концептуальные вопросы

1.Нарисуйте диаграмму и используйте RHR-1, чтобы показать, что силы на верхнем и нижнем сегментах контура тока двигателя на рисунке 1 вертикальны и не создают крутящего момента вокруг оси вращения.

Задачи и упражнения

1. (a) На сколько процентов уменьшится крутящий момент двигателя, если его постоянные магниты потеряют 5,0% своей силы? б) На сколько процентов нужно увеличить силу тока, чтобы вернуть крутящий момент к первоначальным значениям?

2. (a) Каков максимальный крутящий момент на 150-витковой квадратной петле провода 18.0 см на стороне, по которой протекает ток 50,0 А в поле 1,60 Тл? (b) Каков крутящий момент, когда θ составляет 10,9º?

3. Найдите силу тока в контуре, необходимую для создания максимального крутящего момента 9,00 Н. Контур состоит из 50 квадратных витков со стороной 15,0 см и находится в однородном магнитном поле с напряженностью 0,800 Тл.

4. Рассчитайте напряженность магнитного поля, необходимую для квадратного контура из 200 витков со стороной 20,0 см, чтобы создать максимальный крутящий момент 300 Н·м, если контур несет 25,0 А.

5.Поскольку уравнение для крутящего момента на петле с током имеет вид [латекс]\тау = NIAB\sin\theta\\[/латекс], единицы Н ⋅ м должны быть равны единицам А ⋅ м Тл. Проверьте это. .

6. (a) При каком угле θ крутящий момент на токовой петле составляет 90,0% от максимального? (б) 50,0% от максимума? (c) 10,0% от максимума?

7. Протон имеет магнитное поле из-за его вращения вокруг своей оси. Поле аналогично создаваемому круговой токовой петлей радиусом 0,650 × 10 −15 м с током 1.05 × 10 A (без шуток). Найдите максимальный крутящий момент протона в поле 2,50 Тл. (Это значительный крутящий момент для небольшой частицы.)

8. (a) Круговая петля радиусом 50,0 см из 200 витков расположена вертикально, ее ось проходит по линии восток-запад. Ток силой 100 А циркулирует по петле по часовой стрелке, если смотреть с востока. Поле Земли здесь направлено строго на север, параллельно земле, с напряженностью 3,00 × 10 −5 Тл. Каковы направление и величина крутящего момента в петле? б) Есть ли у этого устройства практическое применение в качестве двигателя?

Глоссарий

двигатель:
петля провода в магнитном поле; при прохождении тока по петлям магнитное поле воздействует на петли вращающим моментом, который вращает вал; электрическая энергия превращается в механическую работу в процессе
метр:
обычное приложение магнитного момента к токопроводящей петле, очень похожей по конструкции на двигатель; по замыслу крутящий момент пропорционален I , а не θ , поэтому отклонение иглы пропорционально току

Упражнения

1.{2}\left(\frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}\right)=\text{N}\cdot \text{m}\\[/latex ]

7. 3,48 × 10 −26 Н⋅м

 

Уравнение крутящего момента трехфазного асинхронного двигателя

Крутящий момент, создаваемый трехфазным асинхронным двигателем, зависит от следующих трех факторов:
Во-первых, величина тока ротора, во-вторых, поток, который взаимодействует с ротором трехфазного асинхронного двигателя и отвечает за создание ЭДС в роторной части асинхронного двигателя, наконец, коэффициент мощности ротора трехфазного асинхронного двигателя.
Объединяя все эти факторы, мы получаем уравнение крутящего момента как-

Где, T – крутящий момент, создаваемый асинхронным двигателем,
φ – поток, ответственный за создание ЭДС индукции,
I 2 – ток ротора,
cosθ 2 – коэффициент мощности цепи ротора.

Поток φ, создаваемый статором, пропорционален ЭДС статора E 1 .
т. е. φ ∝ E 1
Мы знаем, что коэффициент трансформации K определяется как отношение вторичного напряжения (напряжение ротора) к первичному напряжению (напряжение статора).

Ток ротора I 2 определяется как отношение ЭДС ротора в рабочем состоянии sE 2 к полному сопротивлению Z 2 со стороны ротора,

и полному сопротивлению Z 2 со стороны ротора определяется как ,

Подставляя это значение в приведенное выше уравнение, мы получаем,

с = скольжение асинхронного двигателя

Мы знаем, что коэффициент мощности определяется как отношение сопротивления к импедансу. Коэффициент мощности цепи ротора равен

Подставляя значения потока φ, тока ротора I 2 , коэффициента мощности cosθ 2 в уравнение момента получаем,

Комбинируя аналогичные слагаемые получаем,

Удалив постоянную пропорциональности получаем,

Где, n s — синхронная скорость в r.п. s, n s = N s / 60. Итак, наконец, уравнение крутящего момента принимает вид

Вывод K в уравнении крутящего момента.
В случае трехфазного асинхронного двигателя в роторе возникают потери в меди. Эти потери в меди ротора выражаются как
P c = 3I 2 2 R 2
Мы знаем, что ток ротора,

Подставим это значение I 2 в уравнение потерь в меди ротора с . Итак, получаем

Отношение P 2 : P c : P m = 1 : s : (1 – s)
Где, P 2 – вход ротора,
P c

7 – потери в меди ротора,


P м – развиваемая механическая мощность.

Подставляем значение Pc в вышеприведенное уравнение, получаем

При упрощении получаем

Развиваемая механическая мощность P м = Tω,

Подставляя значение P м

Мы знаем, что ротор скорость N = N с (1 – с)
Подставляя это значение скорости ротора в приведенное выше уравнение, мы получаем,

N с – скорость в оборотах в минуту (об/мин) и n с – скорость в оборотах в минуту. сек (об/с) и соотношение между ними равно

. Подставим это значение N с в приведенное выше уравнение и упростим его, получим

Сравнив оба уравнения, получим константу K = 3/2πn с

Принцип работы трехфазного асинхронного двигателя — видео

Уравнение пускового момента трехфазного асинхронного двигателя

Пусковой момент — это крутящий момент, создаваемый асинхронным двигателем при запуске.Мы знаем, что в начале скорость вращения ротора N равна нулю.

Таким образом, уравнение пускового момента легко получить, просто подставив значение s = 1 в уравнение крутящего момента трехфазного асинхронного двигателя,

Пусковой момент также известен как пусковой момент.

Условия максимального крутящего момента для трехфазного асинхронного двигателя

В уравнении крутящего момента

Сопротивление ротора, индуктивное сопротивление ротора и синхронная скорость асинхронного двигателя остаются постоянными.Напряжение питания трехфазного асинхронного двигателя обычно номинальное и остается постоянным, поэтому ЭДС статора также остается постоянной. Мы определяем коэффициент трансформации как отношение ЭДС ротора к ЭДС статора. Таким образом, если ЭДС статора остается постоянной, то ЭДС ротора также остается постоянной.
Если мы хотим найти максимальное значение некоторой величины, то мы должны продифференцировать эту величину по какому-то переменному параметру и затем положить ее равной нулю. В этом случае мы должны найти условие максимального крутящего момента, поэтому мы должны дифференцировать крутящий момент относительно некоторой переменной величины, которой является скольжение, т.к. в этом случае все остальные параметры в уравнении крутящего момента остаются постоянными.
Таким образом, чтобы крутящий момент был максимальным

Теперь продифференцируйте приведенное выше уравнение, используя правило дифференцирования деления. Продифференцировав и приравняв члены к нулю, получим

Пренебрегая отрицательным значением скольжения, получим

Итак, при скольжении s = R 2 / X 2 крутящий момент будет максимальным и это скольжение равно называется максимальным скольжением Sm и определяется как отношение сопротивления ротора к реактивному сопротивлению ротора.
ПРИМЕЧАНИЕ. При пуске S = 1, поэтому максимальный пусковой момент возникает, когда сопротивление ротора равно реактивному сопротивлению ротора.

Уравнение максимального крутящего момента

Уравнение крутящего момента: as,

Чтобы увеличить пусковой момент, в цепь ротора при пуске следует добавить дополнительное сопротивление, которое постепенно отключается по мере увеличения скорости двигателя.
Заключение
Из вышеприведенного уравнения следует, что

  1. Максимальный крутящий момент прямо пропорционален квадрату ЭДС ротора в состоянии покоя.
  2. Максимальный крутящий момент обратно пропорционален реактивному сопротивлению ротора.
  3. Максимальный крутящий момент не зависит от сопротивления ротора.
  4. Скольжение, при котором возникает максимальный крутящий момент, зависит от сопротивления ротора, R 2 . Таким образом, изменяя сопротивление ротора, можно получить максимальный крутящий момент при любом требуемом скольжении.

Уравнение крутящего момента асинхронного двигателя

Полная нагрузка Уравнение крутящего момента асинхронного двигателя выглядит следующим образом:

Пусковой крутящий момент двигателя – это крутящий момент, который он создает при пуске.Он обозначается T st и соответствует s = 1. Таким образом, подставляя s = 1 в приведенное выше выражение, мы получаем выражение для пускового момента. Поэтому формула пускового момента для асинхронного двигателя выглядит следующим образом:
 

Максимальный крутящий момент при пуске

Условие для максимального крутящего момента составляет

S = R 2 / x 2 или R 2 = SX 2 ,

R 2 = x 2 (так как при запуске S = 1)
 
Таким образом, для получения максимального крутящего момента при пуске значение сопротивления ротора должно быть равно реактивному сопротивлению ротора в состоянии покоя.
 
Однако нормальное сопротивление ротора довольно мало по сравнению с реактивным сопротивлением, иначе потери в роторе будут высокими, а КПД двигателя будет низким.
 
Следовательно, для получения максимального (более высокого) значения при пуске в цепь ротора добавляется некоторое внешнее сопротивление, что возможно только в случае асинхронных двигателей с контактными кольцами. Как только двигатель набирает скорость, это внешнее сопротивление уменьшается до нуля, и токосъемные кольца замыкаются накоротко.
 
Для получения более высокого пускового момента в случае асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором на ротор накладывается другая клетка, и двигатель называется двигателем с двойной клеткой.

Формула максимального крутящего момента для асинхронного двигателя

Максимальный крутящий момент обозначается T м и возникает при s = R 2 /X 2 . Значение проскальзывания, соответствующее максимальному крутящему моменту, обозначается как s m . Таким образом, подставив s = R 2 /X 2 в выражение крутящего момента при полной нагрузке, мы получим выражение для максимального крутящего момента. Поэтому формула максимального крутящего момента для асинхронного двигателя выглядит следующим образом:
 

 
Приведенное выше выражение показывает, что максимальный крутящий момент T m не зависит от значения сопротивления ротора R 2 .
 
Хотя T м не зависит от R 2 , значение скольжения s м , при котором возникает T м , прямо пропорционально сопротивлению ротора R 2 .
 
При этом максимальный крутящий момент T м обратно пропорционален реактивному сопротивлению ротора в состоянии покоя X 2 . Поэтому для достижения более высокого значения максимального крутящего момента реактивное сопротивление рассеяния ротора должно поддерживаться минимальным.
 
Это достигается размещением проводников ротора очень близко к внешней периферии ротора и уменьшением воздушного зазора между статором и ротором до минимально возможного значения.
 
Максимальный крутящий момент T м , полученный при s м , также называется тяговым крутящим моментом или разрушающим крутящим моментом. Если момент нагрузки превышает момент отрыва, то асинхронный двигатель будет перемещен в нестабильную область и, наконец, остановится.

Влияние изменения напряжения питания на крутящий момент

В выражении крутящего момента при полной нагрузке, как написано выше, E 2 , ЭДС ротора пропорциональна E 1 i.е. напряжение питания статора.
 
Следовательно, T α  sE 1 2
 
Таким образом, крутящий момент на любой скорости пропорционален квадрату напряжения питания статора . Следовательно, когда напряжение питания изменяется, он также изменяет крутящий момент Т нагрузки в рабочем состоянии.
 
При снижении напряжения питания крутящий момент резко снижается, и для поддержания того же крутящего момента увеличивается скольжение или снижается скорость. Следовательно, двигатель потребляет дополнительный ток от сети питания.
 
Спасибо, что прочитали об уравнении крутящего момента асинхронного двигателя .
 

Трехфазный асинхронный двигатель | Все сообщения

 

© http://www.yourelectricalguide.com/ Формула крутящего момента асинхронного двигателя.

Условия максимального крутящего момента в трехфазном асинхронном двигателе

Из уравнения крутящего момента видно, что крутящий момент зависит от скольжения, при котором работает двигатель. Напряжение питания двигателя обычно номинальное и постоянное, и существует фиксированное соотношение между E и E 2 .ence E также является константой. Точно так же R 2 , X 2 и n s являются константами для асинхронного двигателя.

Следовательно, при поиске условия максимального крутящего момента помните, что единственным параметром, который управляет крутящим моментом, является скольжение s.

Математически для максимального крутящего момента мы можем записать

дт / дс = 0
где t = (k s e 2 2 R 2 ) / (R 2 2 + (S x 2 ) 2 )

При выполнении дифференциала помните, что E 2 , R 2 , X и k являются константами.Единственная переменная — это скольжение. При изменении нагрузки на двигатель изменяется его скорость и, следовательно, изменяется скольжение. Это скольжение определяет создаваемый крутящий момент в соответствии с нагрузкой.

T = (K S E 2 2 R 2 ) / (R 2 2 + S 2 x 2 2 ) …… ….. 2  = с 2  X 2 2

Поскольку и числитель, и знаменатель содержат s членов, дифференциал T относительно s с использованием правила дифференцирования для u/v.

. . K S E 2 2 R 2 (2s x 2 2 ) — (R 2 2 + S 2 x 2 2 ) (K E 2 2 R 2 ) = 0
. . . 2 S 2 K X 2 2 2 2 R 2 — R 2 2 K E 2 2 R 2 — K S 2 X 2 2 E 2 2 R 2 = 0
. . . K S 2 x 2 2 2 E 2 2 R 2 — R 2 2 K X 2 2 R 2 = 0
. . . S 2 x 2 — R 2 — R 2 2 = 0 Принимая K E 2 2 R 2 Common.
. . .               s 2   = R 2 2 /X 2 2
. . .                s = R 2 /X 2                                 Пренебрегая отрицательным скольжением

Это скольжение, при котором крутящий момент максимален и обозначается как s m .

. . .                с м = R 2 /X 2

Это отношение останова к значениям сопротивления и реактивного сопротивления ротора, когда крутящий момент, создаваемый асинхронным двигателем, максимален.

1.1 Величина максимального крутящего момента

Это можно получить, подставив s = R 2 /X 2    в уравнение крутящего момента. Обозначается Т м .

T M = (K S M E 2 2 R 2 ) / (R 2 2 + (S M x 2 ) 2 )

Из выражения T m можно заметить, что

1.Оно обратно пропорционально реактивному сопротивлению ротора.
2. Прямо пропорциональна квадрату ЭДС ротора. в состоянии покоя.
3. Самое интересное наблюдение заключается в том, что максимальный крутящий момент не зависит от сопротивления ротора R 2 .

Но скольжение, при котором оно происходит, т.е. скорость, при которой оно происходит, зависит от значения сопротивления ротора R 2 .

Пример 1  : Асинхронный двигатель 400 В, 4 полюса, 3 фазы, 50 Гц, соединенный звездой, имеет сопротивление ротора и реактивное сопротивление на фазу, равные 0.01 Ом и 0,1 Ом соответственно. Определите i) начальный крутящий момент ii) проскальзывание, при котором возникает максимальный крутящий момент iii) скорость, при которой возникает максимальный крутящий момент iv) максимальный крутящий момент v) крутящий момент при полной нагрузке, если проскальзывание при полной нагрузке составляет 4 %. Предположим, что отношение числа оборотов статора к числу оборотов ротора равно 4.

Решение  : Приведены значения:

.

p = 4, f = 50 Гц, статора поворота / ротора = 4, R 2 = 0,01 ω, x 2 = 0,1 Ω
E 1line = линейное напряжение статора = 400 В
E 1Ph = E 1 строка /√3 = 400/√3 = 230.94 В                 …………соединение звездой
K = E 2 фазы /E 1 фаза = обороты ротора/ обороты статора = 1/4
. . .                      E = (1/4) x E = 230,94/4 = 57,735 В
N = 120f/r = 120 х 50,50.
i) В начале          s =1
. . . T ST = (K E 2 2 R 2 ) / (R 2 2 + (x 2 ) 2 ) где k = 3 / (2 π n s )
n = N s / 60 = 1500/60 = 25 р.p.s.
. . .                      k = 3/(2π x 25) = 0,01909
. . . T ST = (0.01909 x 57.735 2 x 0,01) / (0,01 2 + 0,1 2 ) = 63.031 N-M

ii) Проскальзывание, при котором возникает максимальный крутящий момент, составляет
с м  = R 2 /X 2  = 0,01/0,1 = 0,1
%s м   = 0,1 x 809 = 0,1 x 100 = 0,1 x 100

iii) Скорость, при которой возникает максимальный крутящий момент, соответствует скорости,
N = N с (1 – с м ) = 1500 (1 – 0.1) = 1350 об/мин.

iv) Максимальный крутящий момент составляет,
Т м   = (k E 2 2 )/(2 X 2 ) = (0,01909 x 57,735 2 903 x 3 0,1)

v) Скольжение при полной нагрузке,    с f   = 0,04     в % s f   = 4 %
. . . Т ф.л. = (K S F E 2 2 R 2 ) / (R 2 2 + (S F x 2 ) 2 ) = (0.01909 x 0,04 x 57,735 2  x 0,01)/( 0,01 2  + (0,04 x 0,1) 2 )
= 219,52 Н·м

Электрические асинхронные двигатели — Крутящий момент в зависимости от скорости

Крутящий момент представляет собой вращающую силу по радиусу — с единицами Нм в системе СИ и единицами фунт-фут в имперской системе.

Крутящий момент, развиваемый асинхронным двигателем, изменяется, когда двигатель разгоняется от нуля до максимальной рабочей скорости.

Блокированный ротор или пусковой момент

Блокированный ротор или Пусковой момент — это крутящий момент, развиваемый электродвигателем при пуске с нулевой скоростью.

Высокий пусковой крутящий момент более важен для применения или машин, которые трудно запустить, таких как объемные насосы, краны и т. д. Более низкий пусковой крутящий момент может быть допустим для центробежных вентиляторов или насосов, где пусковая нагрузка мала или близка к нулю.

Тяговый крутящий момент

Тяговой крутящий момент — это минимальный крутящий момент, развиваемый электродвигателем при работе от нуля до полной нагрузки (до того, как он достигает точки пускового момента).

Когда двигатель запускается и начинает ускоряться, крутящий момент в целом будет уменьшаться, пока не достигнет нижней точки на определенной скорости — подтягивающий момент — до того, как крутящий момент увеличится, пока не достигнет максимального крутящего момента на более высокой скорости — опрокидывающий момент — точка.

Подтягивающий момент может иметь решающее значение для приложений, которым требуется мощность для преодоления некоторых временных препятствий для достижения рабочих условий.

Опрокидывающий крутящий момент

Опрокидывающий крутящий момент — это максимальный крутящий момент, доступный до того, как крутящий момент уменьшится, когда машина продолжает разгоняться до рабочих условий.

Крутящий момент при полной нагрузке (номинальный) или тормозной момент

Крутящий момент при полной нагрузке — это крутящий момент, необходимый для создания номинальной мощности электродвигателя на скорости с полной нагрузкой.

в Императорских подразделениях полномочий крутящий момент можно выразить как

7 T = 5252 P HP / N R (1)

где

9157 T = полная нагрузка Крутящий момент (LB FT)

P HP = Номинальная мощность

N R N R = Номинальная скорость вращения (REV / MIN, RPM)

В метрических единицах Номинальный крутящий момент Быть выраженным как

кВт / N R (2)

, где

T = номинальный крутящий момент (NM)

P кВт = номинальная мощность ( кВт)

n r = номинальная скорость вращения (об/мин)

Пример — электрический двигатель и тормозной момент

Крутящий момент 912 22 60 HP двигатель вращающийся на 1725 об / мин может быть рассчитан как:

T FL = 5252 (60 л.

Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.